The chain covering number of a poset with no infinite antichains
Résumé
The chain covering number Cov(P ) of a poset P is the least number of chains needed to cover P . For an uncountable cardinal ν, we give a list of posets of cardinality and covering number ν such that for every poset P with no infinite antichain, Cov(P ) ≥ ν if and only if P embeds a member of the list. This list has two elements if ν is a successor cardinal, namely [ν]2 and its dual, and four elements if ν is a limit cardinal with cf(ν) weakly compact. For ν = ℵ1, a list was given by the first author; his construction was extended by F. Dorais to every infinite successor cardinal ν
Le nombre de recouvrement par chaînes d’un ensemble ordonné P (poset), noté Cov(P ), est le plus petit nombre de chaînes nécessaires pour recouvrir P . Pour un cardinal donné ν, on donne une liste de posets Q de nombre de recouvrement par chaînes ν telle que pour tout poset P sans antichaîne infinie, Cov(P ) ≥ ν si et seulement si P contient une copie d’un membre de la liste. Cette liste est constituée de posets de cardinal ν, elle a deux éléments si ν est un cardinal successeur, à savoir [ν]2 et son dual, et quatre éléments si ν est un cardinal limite avec cf(ν) faiblement compact. Pour ν = ℵ1, une liste a été donnée par le premier auteur; sa construction a été étendue par F. Dorais à tout cardinal successeur infini ν.
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